Euleri Identiteet: "Kõige Ilusam Võrrand"

{h1}

Euleri identiteet on tähelepanuväärne võrrand, mis koosneb viiest olulisemast matemaatilisest konstandist.

Euleri identiteet on matemaatika võrdlus, mida on võrreldud Shakespeare'i sonnetiga ja mida kirjeldatakse kui "kõige ilusama võrrandi". See on spetsiaalne näide kompleksse aritmeetika põhialasest võrrandist, mida nimetatakse Euleri valemiks ja mille hilinenud suur füüsik Richard Feynman kutsus oma loengutes "meie kalliskivi" ja "kõige märkimisväärsema valemi matemaatika".

BBC intervjuus ütles professor David Percy, Matemaatikainstituudi ja selle rakenduste instituut, et Euleri identiteet oli "tõeline klassika ja te ei saa seda paremaks teha... See on lihtne vaadata ja siiski väga sügav, see hõlmab viit kõige olulisemad matemaatilised konstandid. "

Euleri identiteet kirjutatakse lihtsalt järgmiselt: e + 1 = 0

Viis konstanti on:

  • Number 0.
  • Number 1
  • Number π, irratsionaalne number (koos lõputute numbritega), mis on ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhe. See on umbes 3.14159...
  • Number e, ka ebatavaline number. See on looduslike logaritmide aluseks, mis tekib loomulikult liitintresside ja kalkunite uurimise kaudu. Number e mööbab matemaatikat, ilmselt kujutab endast kuhugi mitmes olulises võrrandis. See on ligikaudu 2,71828....
  • Number i, mis on määratletud kui negatiivse ruutjuure: √ (-1). Kõige põhilisem on kujutlusarvudest, mida nimetatakse seetõttu, et tegelikkuses ei saa ükski number ühega negatiivse arvu saamiseks korrutada (ja seega negatiivsetel numbitel pole reaalseid ruutjuure). Kuid matemaatikas on palju olukordi, kus üks on sunnitud negatiivse ruutjuure võtma. Kiri i seetõttu kasutatakse seda kindlasti selleks, et märkida kohti, kus see tehti.

Prolific matemaatik

Leonhard Euler oli 18. sajandi Šveitsi sündinud matemaatik, kes arendas mitmeid mõisteid, mis on kaasaegse matemaatika lahutamatud osad. Ta veetis suurema osa oma karjääri Peterburis, Venemaal. U.S. Naval Academyi (USNA) andmetel oli ta üheks kõige viljakamateks matemaatikuteks kogu aeg, avaldades 886 väljaande ja raamatuid. Suur osa tema väljundist tuli tema viimase kahe aastakümne jooksul, kui ta oli täiesti pime. Seal oli nii palju tööd, et Peterburi Akadeemia jätkas oma tööd postuumselt enam kui 30 aastat avaldanud.

Euleri oluliseks panuseks on Euleri valem ja Euleri teoreem, mis mõlemad võivad kontekstist olenevalt tähendada erinevaid asju. USNA andmetel on mehaanikutes "Euleri nurgad (jäik keha orientatsiooni määramiseks), Euleri teoreem (et igal pöörlemisel on telg), Euleri võrrandid vedelike liikumiseks ja Euleri-Lagrange'i võrrand (see pärineb variatsioonide arvutusest). "

Korrutab keerukaid numbreid

Euleri identiteet tuleneb loomulikult kompleksarvude koostoimest, mis koosnevad kahest osast: reaalne arv ja kujuteldav arv; näide on 4 + 3i. Komplekssed numbrid ilmnevad paljudes rakendustes, nagu laine mehaanika (kvantmehaanika uuring) ja vahelduvvoolu lülituste (tavaline elektrotehnika tava) kujundamine. Lisaks on kompleksarvud (ja nende nõod, hüperkomplekssed numbrid) vara, mis muudab need eriti kasulikuks arvutigraafika, robootika, navigeerimise, lennu dünaamika ja orbitaalmehaanika uurimisel: nende kordamine neid kordab. See vara aitab meil mõista Euleri identiteedi põhjuseid.

Järgnevas näites joonistatakse viis kompleksset numbrit keerukas lennuk ja koos moodustavad "maja kuju". Komplekstasand sarnaneb numbririda, välja arvatud see, et see on kahemõõtmeline. Horisontaalne suund on reaalarvud ja vertikaaltelg kujutab endast kujuteldavaid numbreid. Iga maja kujuga kompleksarv korrutatakse kompleksarvuga 4 + 3i ja jäljendatud (roheline nool). [Seotud: mis on komplekssed numbrid?]

Nagu näha, korrutades 4 + 3 võrrai tulemuseks maja kuju laienev (kasvab piirkonnas ja läheb päritolukohast 0 + 0i sama summa võrra) ja pöörlev (kallutades mõne nurga all). Selle näitamiseks on täpselt 4 + 3i korrutamine, näidatakse ka maja suumimise mõju viiekordselt ja pöörlemist 36,9 kraadi võrra (punane nool). Täpne sama efekt on toodetud.

Sama efekt saadakse näitude tippude korrutamisel väärtusega 4 + 3i ja arvu pööramisega 36,9 kraadi võrra ja selle laiendamisega 5 korda.

Sama efekt saadakse näitude tippude korrutamisel väärtusega 4 + 3i ja arvu pööramisega 36,9 kraadi võrra ja selle laiendamisega 5 korda.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Erinevad laienemis- ja pöörlemiskogused võivad tekitada komplekstasandil mõne arvuga korrutamise mõju.

Polaarne kompleksarvude vorm

Pöörlemis- ja laienemishulk määratakse kindlaks vastavalt arvudele 4 + 3 iseloomulikele omadustelei, nagu näitab allpool toodud joonis, on päritolust viie ühiku (r = 5) ja moodustab horisontaaltelje suhtes 36,9 kraadi (φ = 36,9°). Neid mõõtmisi kasutatakse nn polaarvorm kompleksarv (re) erinevalt tavalisest ristkülikukujuline vorm (a+bi).

Number 4 + 3i on päritolust viie ühiku ja moodustab horisontaaltelje nurgaga 36,9 kraadi.

Number 4 + 3i on päritolust viie ühiku ja moodustab horisontaaltelje nurgaga 36,9 kraadi.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Polaarvorm nõuab seda φ mõõta radiaanid. Üks radiaan (1rad) on ligikaudu 57,3 kraadi; see on nurga mõõdud, kui ringjoone raadius ümbritseb selle ringi ümbermõõtu. Mõõdud on π radiaanid mähivad poole ringi ümber; meede 2π radiaanid ümbritsevad kogu ringi.

Ühe radiaani nurga mõõdu tekitatakse, kui ringjoone raadius ümbritseb selle ümbermõõdu. Poolring on π radiaanid ja täisring on 2π radiaanid.

Ühe radiaani nurga mõõdu tekitatakse, kui ringjoone raadius ümbritseb selle ümbermõõdu. Poolring on π radiaanid ja täisring on 2π radiaanid.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Nurga mõõt 4 + 3 jaoksi on 0,644 radiaani (36,9° = 0,644rad), mis tähendab 4 + 3 polaarset vormii on 5ei0.644. Meetmed r ja φ saab määrata ka iga maja kuju kohta ja veel üks viis, kuidas saavutada laiendav / pöörleva efekti, korrutades 4 + 3i on korrutada igaüks r viie võrra ja lisage 36,9 kraadi (või 0,644)rad) igale φ. Sellest meeleavaldusest näeme, et kui keerukaid numbreid korrutatakse koos, siis pikendatakse vahemaid ja nurkad lisanduvad. See on tingitud eksponentidele omast omadusest, mida saab näidata algebraselt.

Komplekssete numbrite polaarse vormi kasutamine, et näidata, miks distantsid korrutatakse ja nurkad lisada.

Komplekssete numbrite polaarse vormi kasutamine, et näidata, miks distantsid korrutatakse ja nurkad lisada.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Komplekssete numbrite polaarse vormi korral on Euleri identiteedi asi vaid eriline juhtum a+bi eest a = -1 ja b = 0. Järelikult polaarset vormi re, see teeb r= 1 ja φ = π (alates πrad = 180°).

Euleri identiteet on spetsiaalne a + b i korral a = -1 ja b = 0 ning reiφ kui r = 1 ja φ = π.

Euleri identiteet on spetsiaalne a + b i korral a = -1 ja b = 0 ning reiφ kui r = 1 ja φ = π.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Polaarvormi tuletamine

Kuigi Euleri identiteet tuleneb kompleksarvude polaarsest vormist, pole polaarset vormi (eriti numbri spontaanset väljanägemist) võimalik tuletada e) ilma arvutuseta.

Üldjoontes on nii nelinurkne (a + bi) kui ka polaarne (reiφ) vorme keeruline arv.

Üldjoontes on nii nelinurkne (a + bi) kui ka polaarne (reiφ) vorme keeruline arv.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Alustame ristkülikukujulise kompleksarvuga:

a + bi

Diagrammist ja trigonomeetrilistest elementidest saab teha järgmised asendused:

(r· Cosφ) + (r· Pattφ)i

Siin me saame tegurist välja võtta r:

r· (Cosφ + i· Pattφ)

Mõnikord "cosφ + i· Pattφ"on nimega cisφ, mis on stenogrammiks "cosine pluss imagiamaine sine. "

r· Cisφ

Funktsioon cisφ osutub võrdseks e. See on osa, mida on võimatu näidata ilma arvutuseta. Allpool on toodud kaks tuletist:

Kaks derivatsiooni cisφ = eiφ jaoks. Mõlemad kasutavad mõnda kivihooldust.

Kaks derivatsiooni cisφ = eiφ jaoks. Mõlemad kasutavad mõnda kivihooldust.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Seega võrrand r· Cisφ on kirjutatud standardpolar kujul r· E.

Lisaressursid

  • ResearchGate: mis on eriline Euleri identiteedis?
  • Academia.edu: Euleri identiteet - matemaatiline tõestus Jumala olemasolu kohta, Robin Robertson
  • Science4All: kõige ilusam matemaatika võrrand: Euleri identiteet


Video Täiendada: .




ET.WordsSideKick.com
Kõik Õigused Reserveeritud!
Mistahes Materjalide Reprodutseerimine Lubatud Ainult Prostanovkoy Aktiivne Link Saidile ET.WordsSideKick.com

© 2005–2019 ET.WordsSideKick.com