Kuidas Fractals Töötab

{h1}

Fraktalid on olnud igaveseks, kuid määratleti ainult 20. Sajandi viimases kvartalis. Kas saate murda oma aju selle kohta, kuidas fraktante töötab?

Fraktalid on paradoks. Hämmastavalt lihtne, kuid lõpmata keeruline. Uus, kuid vanem kui mustus. Mis on fraktalid? Kust nad pärit olid? Miks ma peaksin hoolima?

Tavatu 20. sajandi matemaatik Benoit Mandelbrot lõi ladina sõna fractal fractus (ebaühtlane või killustatud) 1975. aastal. Need ebakorrapärased ja killustatud kujundid asuvad meie ümber. Fraktalid on nende kõige elementaarsemad korduva mustri või valemi visuaalsed väljendid, mis algab lihtsamalt ja muutuvad järk-järgult keerukamaks.

Fraktaalide üks esimesi rakendusi tekkis hästi, enne kui terminit kasutati isegi. Lewis Fry Richardson oli inglise matemaatik 20. sajandi alguses, uurides inglise ranniku pikkust. Ta põhjendas, et ranniku pikkus sõltub mõõteriistade pikkusest. Mõõdetage mõõdupuuga, saate ühe numbri, kuid mõõtke üksikasjalikuma suu pikkusega joonlaudiga, mis arvestab rohkem rannajoone ebakorrapärasust ja saad suurema arvu jne.

Viige see oma loogilisele järeldusele ja jõuate lõpmata pika rannajooneni, mis sisaldab piiratud ruumi - sama paradoks, mille Helge von Koch esitas Kochi lumehelves. See fraktant hõlmab kolmnurga võtmist ja iga segmendi tsentraalse kolmanda osa pööramist kolmnurksesse kokkupõrkesse nii, et fraktant on sümmeetriline. Iga kukkumine on loomulikult kauem kui algset segmenti, kuid sisaldab endiselt piiratud ruumi. Veider, kuid mitte konkreetsele numbrile lähenemine, liigub perimeeter lõpmatuseni. Mandelbrot nägi seda ja kasutas seda näidet, et uurida fraktaalmõõtme kontseptsiooni, mis tõestab, et rannajoone mõõtmine on ligilähedane harjutus [allikas: NOVA].

Kui fraktante on kogu selle aja jooksul tegelikult olnud, siis miks me oleme neid viimase 30 aasta jooksul kuulnud?

Fraktali terminoloogia

Fraktalite kunst võib esialgu ilmuda juhuslikult ja eraldatult, kuid lähemal vaatlemisel ilmneb korduv struktuur.

Fraktalite kunst võib esialgu ilmuda juhuslikult ja eraldatult, kuid lähemal vaatlemisel ilmneb korduv struktuur.

Enne kui me veel üksikasjalikult jõuame, peame katma mõned põhikontseptsioonid, mis aitavad teil mõista fraktaalide ainulaadseid omadusi.

Kõik fraktalid näitavad, mida nimetatakse enesekindlus. See tähendab, et kui näete fraktandi üksikasju lähemalt ja lähemalt, näete kogu koopiat. Kanaitse on klassikaline näide. Vaadake kogu haru. Vaadake peamist tüve välja tulevaid filiaale? Kõik need filiaalid näevad välja sarnased terve rida. Need on algupärase algupäraga sarnased, vaid väiksemas ulatuses.

Need iseloodud mustrid on lihtsa võrrandi või matemaatilise avalduse tulemus. Fraktalid luuakse, korrates seda võrrandit tagasisideahelaga protsessis, mida nimetatakse iteratsioon, kus ühe iteratsiooni tulemused moodustavad järgmise sisendi väärtuse. Näiteks kui vaatate nautilišli kere sisemust, näete, et iga kambri kamber on põhimõtteliselt eelmise kambri koopia, mis on veidi väiksem, kui jälgite neid väljastpoolt sisemist.

Fraktalid on ka rekursiivne sõltumata mõõtkavast. Kas olete kunagi minema poodi riietusruumi ja leidke ennast ümbritsetud peeglitega? Parema või halvema eesmärgi saavutamiseks vaatate endalt endalt lõputult rekursiivset pilti.

Lõpuks märkus umbes geomeetria. Enamik meist kasvas üles, õpetati, et pikkus, laius ja kõrgus on kolm mõõdet, ja see ongi. Fraktali geomeetria viskab selle kontseptsiooni kõvera, tekitades ebakorrapäraseid kuju fraktaalmõõtmed; Kuju fraktalmõõtmed on selle kuju keerukuse mõõtmise viis.

Nüüd võta see kõik ja me saame selgesti näha, et a puhas fraktant on geomeetriline kuju, mis on iseenesest sarnane läbi lõpmatute iteratsioonide rekursiivse mustri ja lõpmatu detaili kaudu. Lihtne, eks? Ära muretse, me läheme üle kõik tükid varsti piisavalt.

Enne kui nad olid fraktalid

Katsushika Hokusai kasutas oma maalimisel oma-sarnasuse fraktantkontseptsiooni

Katsushika Hokusai kasutas 1800-ndate alguses oma maali "The Great Wave Off Kanagawa" fraktantlikku enesekindluse kontseptsiooni.

Kui enamus inimesi fraktante mõtleb, mõtlevad nad sageli kõige kuulsamale neist kõigist Mandelbroti komplektist. Matemaatik Benoit Mandelbroti nime all on fraktaalide mõiste praktiliselt sünonüümiks. Kuid see pole kaugeltki ainus linna fraktal.

Varem mainitud sõnajalg, mis kujutab endast looduse lihtsaid ja piiratud fraktante. Piiratud fraktalid ei kesta määramata aja jooksul; nad näitavad vaid mõnda kontoventse kujuga kordust. Lihtsad ja piiratud fraktaalid ei ole ka nende enesekindluses täpne - sõnajalgade lendlehed ei pruugi ideaalselt paremini jäljendada suurema haru kuju. Merepuru ja lumehelveste kristallid on kaks looduslikus maailmas leiduvat sellist tüüpi fraktanti ka teisi klassikalisi näiteid. Kuigi see pole matemaatiliselt täpne, on neil ikkagi frakt-laalne olemus.

Varasemad Aafrika ja Navajo kunstnikud märkasid nende rekursiivsete mustrite ilu ja püüdsid neid jäljendada paljudel nende igapäevaelutel, kaasa arvatud kunst ja linnaplaneerimine [allikas: Eglash, Bales]. Nagu looduses, piiras iga mustri rekursiivsete iteratsioonide arv materjali ulatusega, millega nad töötavad.

Leonardo da Vinci nägi seda mustrit ka puuharudes, kuna puu otsad kasvasid ja jagunesid rohkemesse harudesse [allikas: Da Vinci].1820. aastal lõi Jaapani kunstnik Katsushika Hokusai "Great Kanagawa Kanagawa", mis on suur ookeanilaine värviline ümberkujundamine, kus top laguneb väiksemateks ja väiksemateks (omapoolseteks) lainetes [allikas: NOVA].

Matemaatikud sattusid ka lõpuks. Gaston Julia kujundas idee kasutada tagasisidekõnet, et tekitada 20. sajandi alguses korduvat mustrit. Georg Cantor eksperimenteeris rekursiivsete ja enesestmõistetavate komplektide omadustega 1880. aastatel ja 1904. aastal avaldas Helge von Koch lõpmatu kõvera kontseptsiooni, kasutades ligikaudu sama tehnikat, kuid pideva joonega. Ja muidugi oleme juba maininud Lewis Richardsoni, kes uurib Kochi mõtet, kui püüame mõõta inglise rannikut.

Kuid sellised keerulise matemaatika uurimised olid enamasti teoreetilised. Puudulikul ajal oli masin, mis suutis mõistliku aja jooksul läbi viia nii palju matemaatilisi arvutusi, et välja selgitada, kus need ideed tegelikult tõid. Kuna arvutivõimalused arenesid, tegi matemaatikud ka nende teooriate testimise võime.

Järgmises osas me vaatame frakttaalse geomeetria taga matemaatikat.

Matemaatika taga

Me mõtleme mägedele ja teistele reaalmaailma objektidele, millel on kolm mõõdet. Eukleidese geomeetriaga määrame objekti pikkuse, kõrguse ja laiuse väärtused ning arvutame nende väärtuste põhjal välja atribuudid nagu ala, maht ja ümbermõõt. Kuid enamik objekte ei ole ühtsed; näiteks mägedes on varjatud servad. Fraktali geomeetria võimaldab meil täpsemalt määratleda ja mõõta kuju keerukust, määratledes, kui karm on selle pind. Selle mägi varjatud servad on matemaatiliselt väljendatud: sisestage fraktandi mõõt, mis määratluse järgi on objekti Eukleidese (või topoloogilise) mõõtme võrra suurem või võrdne (D => DT).

Suhteliselt lihtsat meetodit selle mõõtmiseks nimetatakse kasti loendamiseks (või Minkowski-Bouligandi dimensiooniks). Proovige, asetage võrkpaberi tükkile fraktant. Mida suurem on fraktaal ja üksikasjalikumalt võrgupaber, seda täpsem on mõõtmete arvutamine.

D = log N / log (1 / h)

Selles valemis D on mõõde N on ruudukastide arv, mis sisaldavad mõnda fractaalosa sees ja h on gridplokkide arv, millele fraktalid ulatuvad graafikapaberile [allikas: Fraktalid tühjaks]. Kuigi see meetod on lihtne ja ligipääsetav, pole see alati kõige täpsem.

Üks fractaalide mõõtmise standardmeetoditest on kasutada Hausdorffi mõõdet, mis on D = log N / log s, kus N on nende osade arv, millest fraktaal toodab igast segmendist ja s on iga uue osa suurus võrreldes algse segmendiga. See tundub lihtne, kuid sõltuvalt fraktolist võib see päris kiiresti keeruline olla.

Saate luua lõpmatu fraktantide hulga, vahetades mõnda võrrandi esialgsetest tingimustest; see on koht, kus kaose teooria on. Pinnaosas kõlab kaose teooria nagu midagi ennustamatut, kuid frakttaline geomeetria seisneb selles, et leida järjekord, mis esialgu tundub olevat kaootiline. Alustage paljusid viise, kuidas neid esialgseid võrrandi tingimusi muuta, ja saate kiiresti aru, miks on lõpmatu arv fraktante.

Kuid te ei puhasta põrandat Mengeri käsnaga, aga mis head on fraktaalid?

Kuulsad fraktandid ja nende tüübid

Mõned fraktalid algavad põhirida segmendi või struktuuriga ja lisatakse sellele. Draakonikõver tehakse sel viisil. Teised on redutseerivad, alustades tahke kujuga ja korrutades sellest korduvalt. Sierpinsky kolmnurk ja Menger Sponge on mõlemad selles rühmas. Veel kaootilisi fraktante moodustavad kolmandad rühmad, mis on loodud suhteliselt lihtsate valemite abil ja graafitseerivad neid miljardeid kordi Cartesian Gridi või komplekstasandil. Mandelbroti komplekt on selle grupi rock-star, kuid Strange Attractors on ka päris lahe. Need kujutised on kõik matemaatiliste valemite väljendid. Kui te graafitseerite fraktallivõrrandi numbreid kompleksarvulisel tasapinnal, saate ka fraktantidest teha.

Praktilised Fraktalid

Pärast seda, kui Mandelbrot avaldas oma primaarse töö 1975. aastal fraktantides, sai üks esimesi praktilisi kasulikke näpunäiteid 1978. aastal, kui Loren Carpenter soovis luua mõningaid arvutipõhiseid mägesid. Kasutades fraktalle, mis algasid kolmnurkadega, lõi ta hämmastavalt realistliku mäeahea [source: NOVA].

1990ndatel Nathan Cohen sai Kochi lumehelvest inspireeritud, et luua kompaktsemat raadioantennti, kasutades selleks mitte midagi enamat kui traat ja paar tangid. Praegu kasutavad mobiiltelefonid antennid selliseid fraktalle nagu Mengeri käsn, karpi fraktal ja ruumi täidetavad fraktandid, et optimeerida maksimaalset vastuvõttuvõimsust minimaalse ruumala ulatuses [allikas: Cohen].

Kuigi meil ei ole aega kõiki võimalusi, mida fraktaalid meile täna pakuvad, on ka mõned teised näited bioloogia, meditsiin, modelleerivad veekogud, geofüüsika ja meteoroloogia koos pilve moodustumise ja õhuvooludega [allikas: NOVA].

See artikkel on mõeldud selleks, et saaksite alustama frakttaalse geomeetria vaimuvat maailma. Kui teil on matemaatiline painutamine, võiksite uurida seda maailma, kasutades järgmisel lehel loetletud allikaid palju rohkem. Vähem matemaatiliselt kalduvad lugejad sooviksid uurida selle uskumatu ja keeruka inspiratsiooniallika kunsti ja ilu lõpmatu potentsiaali.

Kuidas teha oma Fractal

Võtke tühja lehe paber ja tõmmake sirgjoonest keskelt allapoole. Nüüd tehke kaks rida, poolest nii kaua kui esimene, väljub 45-kraadise nurga all esimese rea ülaosast, moodustades Y. Tee seda uuesti Y-de iga kahvli jaoks. See on teie fraktaalis esimene kordamine.Jätkake iga kahvliga tegelemist. Kolmanda või neljanda iteratsiooni abil hakkate mõistma, miks fraktaali geomeetriat ei arendatud enne arvuti vanust. Õnnitleme - just tegite fraktaalse võrastiku! Segatakse see, muutes esialgsed read veidi (või palju) ja vaadake, mis juhtub.


Video Täiendada: Rob Williams Talks About PSYCH-K.




ET.WordsSideKick.com
Kõik Õigused Reserveeritud!
Mistahes Materjalide Reprodutseerimine Lubatud Ainult Prostanovkoy Aktiivne Link Saidile ET.WordsSideKick.com

© 2005–2019 ET.WordsSideKick.com