Mis On Kvadratuurilised Võrrandid?

{h1}

Kvraadilised võrrandid on algebras aluseks ja on matemaatika paraboolide, mürskude, satelliitantennide ja kuldsete suhete taga.

Matemaatika puhul on kvadratuur teatud tüüpi probleem, mis tegeleb muutujaga, mida korrutatakse iseendaga - operatsiooni tuntud kui ruudustik. See keel tuleneb ruudu pindalast, mille külgpikk on korrutis. Sõna "kvadratuur" pärineb kvadratum, ladina sõna ruudu jaoks.

Kvartalilised võrrandid iseloomustavad paljusid nähtusi reaalses maailmas, näiteks kus raketi laev maandub, kui palju tasu toote eest maksta või kui kaua võtab inimene jõest üles ja alla. Kuna nende laiaulatuslike rakenduste tõttu on kvadraatidel tegemist sügava ajaloolise tähtsusega ja algebra ajaloo aluseks.

Purskkaevuvett moodustavad paraboolid.

Purskkaevuvett moodustavad paraboolid.

Krediit: Matej Kastelic Shutterstock

Parabool

Kvadraatide matemaatika on omakorda seotud U-kujulise kõveraga, mida nimetatakse parabooliks. Võib-olla kõige tuntum näide on joogivee purskkaevu voolav voolav vesi. On palju muid näiteid, näiteks satelliitantennide ristlõikega või vedrustussilla kaablitega.

Parabool oli oluliseks kujuks paljudele muistse Kreeka matemaatikutele, nagu Aleksandria eukliid (~ 300 a. E.), Syrakuuse Archimedes (287-212 eKr), Perga apollonius (262-190 eKr) ja Aleksandria pappus (AD 290 -350). Need teadlased märkisid mitmeid matemaatilisi omadusi, mis on omane paraboolidele:

1. Parabool on punkti kogum, mis on punktist võrdselt kaugel (a keskenduma) ja rida (a directrix) Asjakohane nimega fookus on oluline mitmes kaasaegses insenerirajatises, kuna see on paraboolse nõude punkt, kuhu kajastuvad sissetulevad lained, olgu need siis raadiolaineid (nagu satelliitantennil), valgust (nagu kontsentreerivas päikesepatareis) või heli (nagu paraboolsel mikrofonil).

Iga parabooli punkt on teatud punktist ja joonest võrdses. Sissetulevad lained kõik peegelduvad fookuses.

Iga parabooli punkt on teatud punktist ja joonest võrdses. Sissetulevad lained kõik peegelduvad fookuses.

Krediit: Robert Coolman

2. Parabool tekib ka siis, kui koonus lõigati paralleelselt koonuse külgede nõlvaga. Selle tõttu on paraboolid komplektis matemaatilised kõverad kutsutud koonilised sektsioonid. Peaaegu 2000 aastat pärast seda avastamist mõistes Leonardo da Vinci (A.D. 1452-1519) oma uurimuses paraboolsete põlevaid peeglite kohta seda omadust ja töötanud välja kompassi, mis võiks parabolaid joonistada.

Koonus, mis lõikab koonust, teeb parabooli.

Koonus, mis lõikab koonust, teeb parabooli.

Krediit: Robert Coolman

3. Parabooli kõrguse muutused on proportsionaalsed parabooli laiuse ruutu muutustega. Näiteks kui parabool on üks ühik kõrge, kus see on üks ühik lai, on see üheksa (kolm ruut) üksust kõrge, kui see on kolm ühikut lai. Sellest omadusest tuleneb, et Apollonius pärineb sõna "parabool" parabool Kreeka sõna "rakendus" tähendab seda, et laiust "rakendatakse" (korrutatakse) ise. See on omadus, mis seob parabooli kuju kvadratuuri matemaatilise kontseptsiooniga.

Kuigi paraboolid on üldlevinud, on oluline märkida, et nad erinevad teistest U-kujulistest kõveratest, nagu näiteks rippuv ahel (kontaktliin), lapse teekond (ringikujuline kaar), kaar püstine taskulamp, mis langeb seina peale (hüperbool) või vedru külgvaates (sinusoid). Neil teistel kõveratel pole paraboolide varem mainitud omadusi.

Kui parabool on üks ühik kõrge, kus see on üks laius, siis on see üheksa (kolm ruut) ühikut kõrge, kus see on kolm ühikut lai. See parabool on pööratud paremale, nii et see sobib lehele.

Kui parabool on üks ühik kõrge, kus see on üks laius, siis on see üheksa (kolm ruut) ühikut kõrge, kus see on kolm ühikut lai. See parabool on pööratud paremale, nii et see sobib lehele.

Krediit: Robert Coolman

Projectiili liikumine

Paraboolide ja kvadratuuride matemaatika seos oli 16. sajandil A.D. olulisel kohal, kui Euroopa renessansi teadlased märkasid, et paraboolsetes trajektoorides sõidavad sellised mürsud nagu suurtükid ja mörtid. Selle ajastu paljud teadlased, sealhulgas Leonardo da Vinci ja Galileo Galilei (1564-1642), õppisid mürsu liikumist. Vastavalt Joseph W. Daubeni, New Yorgi linnuülikooli ajaloo professorile (CUNY), kuna renessansi kunstnikud said kinnisideeks reaalsuse täpselt kunstis, Galileo sai samaaegselt kinni reaalsuse täpse pildistamisega kasutades matemaatika. 1638. aastal avaldas Galileo esimese tõendi selle kohta, et Maa raskusjõu ühtlane kiirendus põhjustab mürsu liikumist paraboolsetes trajektoorides. Seda matemaatikat võiks liikumise kirjeldamiseks kasutada teadusliku revolutsiooni edenemise võti.

Kvraadi graafikud

Prantsuse filosoof ja matemaatik René Descartes (1596-1650) avaldas samal ajal kui Galileo "La Géométrie" (1637), kus kirjeldati algebralike võrrandite graafilist analüüsi geomeetriat. Tema meetodite variatsioon on tänapäeval veel kasutusel. Nagu allpool näidatud, on kvarratiivse võrrandi graafik parabool.

Kvraadilisel võrrandil on parabool. Täna praktiseeritav graafikaprotsess põhineb René Descartes'i tööl.

Kvraadilisel võrrandil on parabool. Täna praktiseeritav graafikaprotsess põhineb René Descartes'i tööl.

Krediit: Robert Coolman

Iidne kvadratuur: kuldne suhe

Et mõista kvadratuuri lahendamise meetodit, mida tänapäeval matemaatikud, teadlased ja insenerid kasutavad, uurime iidse matemaatikaprobleemi: kuldset suhet.Maine'i ülikooli matemaatika professor George Markowsky märkis kõrvale: "Kallis suhtarvude väärarvamused" (1992) rõhutasid, et kuldse suhte ajalooline tähendus ja esteetiline vaatenurk on sageli ületatud, kuigi tõsiasi on see suhe tihti numbriteoorias (paralleelselt & Fibonaccijadajärjekordiga), geomeetriaga (nagu näiteks ikoasageedil) ja bioloogias (näiteks taime lehtede nurga all).

Kuldse suhte määramiseks kasutatakse üht meetodit järgmiselt:

Leidke ristkülik, mille pikkus ja laius on sellised, et ruudu lõikamisel ristküliku ühel otsal, on jäänud jäägid ristkülikul sama kuju või "kuvasuhe" kui originaal ristkülik (kuid pööratud õige nurga all).

Kuigi iidsed kreeklased lahendasid selle probleemi kasutades geomeetriat, kasutame algebra, nagu seda õpetatakse täna.

Algebra kasutamine, et määrata kuldse suhte väärtus.

Algebra kasutamine, et määrata kuldse suhte väärtus.

Krediit: Robert Coolman

Pikkuse ja laiuse saamiseks kuldse suhte määramiseks anname lühikese külje pikkuseks 1 ja pika külje pikkus x. Kuna kujutise suhe on pikk külg jagatud lühikese küljega, on selle ristküliku kuvasuhe x / 1 või lihtsalt x. Kui me lõigame ruudu välja sellest ristkülikust, jääb jäägid pikkusega 1 ja lühikese külje pikkus x-1. Seega on kuvasuhe 1 / (x-1). Mõistes, et kogu ristküliku ja väiksema jäägi ristküliku kuvasuhe peaks olema sama, meie võrrandiks on x = 1 / (x-1).

Kvadraatne valem

Siin on õpilastele antud ülesanne lahendada seda võrrandit täna. Alustage võrrandiga:

x = 1 / (x-1)

Korrutage võrrandi mõlemad küljed väljendiga x - 1:

x · (x-1) = 1

Levitage x üle väljendi x-1:

x · x - x · 1 = 1

Muutuja x, mis korrutatakse ise, kirjutatakse kui x². See ruut on see, mis muudab võrrandi ruutkeskmiseks:

x² - x = 1

Nüüd lahutame 1 võrrandi mõlemalt poolt, et saavutada kvadratuurilise võrrandi standardvormi:

x² - x - 1 = 0

Vastasel korral võib seda kirjutada järgmiselt:

(1) · x² + (-1) · x + (-1) = 0

Kui seda võrrandit võrreldakse a · x² + b · x + c = 0, siis annab see väärtused a = 1, b = -1 ja c = -1. Neid väärtusi kasutatakse kvartaalses valemis nagu

Kaasaegse kvadratuvõrrandi sümboolne vorm.

Kaasaegse kvadratuvõrrandi sümboolne vorm.

Krediit: Robert Coolman

Sümbol "±" tähendab "pluss või miinus". Selle tõttu annab kvartaalse valem alati kaks lahendust. Asenda mõlemad need väärtused võrrandisse x = 1 / (x - 1), et kontrollida, kas see muudab mõlemad võrrandi küljed samaks. See tähendab, et meetod töötas. Pange tähele, et need väärtused on ka kohad, kus võrrandi standardvormi graafik (y = x² - x-1) läbib X-telge, kus on y = 0 (vt graafikut eespool). Sellisel juhul on positiivne väärtus füüsiliselt suurem, sest ristkülikul ei tohiks olla negatiivset laiust.

Ancient Babylonian origins

Et anda mõningane ülevaade sellest, kus kvadratuurvalem on pärit ja miks see töötab, uurime iidse Babüloonia savi tableti meetodit umbes 1800 B.C. (Tahvelarvuti BM 13901, Briti muuseum). Jacques Sesiano sõnul "Algebra ajaloo sissejuhatuse kohta" (AMS, 2009) on selle tableti esimene probleem ligikaudu:

Lisasin ruutu ja ruudu serva, et saada ¾. Mis ruudu külg on?

Probleem on kirjutatud kaasaegses märkuses järgmiselt:

x² + x = ¾

Järgnevalt kirjeldatakse Babiilane ja araabia meetodeid, mida kirjeldas Sesiano. Esiteks tõlgime samme, mida babüloonlased kasutasid, aga ka tõlgivad need sümbolikeks keelde, mida täna kasutame algebras. Täiesti sümboolne keel esimest korda ilmnes Euroopas 17. sajandil. Kuna babüloonlased ei teadnud negatiivsetest numbritest, on vaja kirjutada võrrandi kujul x2 + px = q, kus p = 1 ja q = ¾. Kui võrrelda seda tänapäevase standardvormiga kirvega2& + bx + c = 0 näitab, et p = b / a ja q = -c / a.

Iidne Babüloonia protseduur konkreetse kvadraadi lahendamiseks. Tõlge tänapäevasesse sümboliks on paremal.

Iidne Babüloonia protseduur konkreetse kvadraadi lahendamiseks. Tõlge tänapäevasesse sümboliks on paremal.

Krediit: Robert Coolman

Nüüd lähme ja tõestame, et protseduur on õige, kasutades geomeetrilisi meetodeid, mida araabia matemaatikud tegid 9. sajandi sajandil. Järgnevas on varieerumine tõendist, mis ilmnes pärsia matemaatik Al-Khwārzmī väljaandes "The Compendious Book of Calculation by Completion and Balancing "AD 820. Kuigi babüloonlased tuletasid peaaegu kindlasti oma geomeetrilistest protseduurilistest meetoditest, ei ilmunud kirjalikke dokumente tuletiste kohta ega õigsuse tõendeid enne islami kuldajat, ajavahemikku seitsmenda sajandi keskpaigast kuni 13. sajandi keskpaigani, mil Moslemid valitsevad impeeriumi, mis ulatub Kesk-Aasiast Põhja-Aafrikasse ja Iberiasse.

Geomeetriline näide, miks vana Babüloonia protseduur toimib. Selle tõestuse variatsioon registreeriti esmakordselt IX sajandil A.D. Araabias ja täiesti sümboolne keel esimest korda ilmnes 17. sajandi A D Euroopas.

Geomeetriline näide, miks vana Babüloonia protseduur toimib. Selle tõestuse variatsioon registreeriti esmakordselt IX sajandil A.D. Araabias ja täiesti sümboolne keel esimest korda ilmnes 17. sajandi A D Euroopas.

Krediit: Robert Coolman

Kui me "plug-in" p = b / a ja q = -c / a, siis valem paratamatult lihtsustab tänapäeva õpetatud kvadratuuri võrrandi tänapäevast vormi.

Aafrika-Euraasia elanike hulgas kasutati neljakordse valemi erinevaid vorme. Protseduurivorminguid kasutavad Babüloonlased ja egiptlased 19. sajandi keskel B.C., kaldealased 7. sajandil B.C., kreeklased neljandas sajandil B.C. ja viiendas sajandi indiaanlased A.D.Aordikud kujundasid retoorilisi ja sünkopeeritud vorme 9. sajandi A.D. ning sünkopeeritud ja sümboolse kujuga eurooplased 11. sajandil. A.D. Iga tsivilisatsiooni poolt kasutatud meetodeid edasi arenesid negatiivsete, mõttetute, kujuteldavate ja keerukate numbrite kohta.

Lisaressursid

  • Drexeli ülikoolil on lõbus veebisait, mis illustreerib graafikute ajalugu.
  • Purplemath.com, matemaatika õppetükk, selgitab koonikaid ja parabolasid.
  • MathWorld, online-matemaatika ressurss, räägib kvartaalsed võrrandid.


Video Täiendada: .




ET.WordsSideKick.com
Kõik Õigused Reserveeritud!
Mistahes Materjalide Reprodutseerimine Lubatud Ainult Prostanovkoy Aktiivne Link Saidile ET.WordsSideKick.com

© 2005–2019 ET.WordsSideKick.com