Mis On Tõestus?

{h1}

Tõend on rangelt põhjendatud argument, mis näitab, et matemaatiline väide on tõene. Argumendid, mis on tõestatud, muutuvad teoreemideks, näiteks pythagorase teoreem.

Tõend on rangelt põhjendatud argument, mis näitab, et matemaatiline väide on tõene.

Matemaatika erineb teistest teaduse valdkondadest, kuna väited liiguvad erineval tasemel. Teadusliku meetodi abil katsetatakse väiteid, et neid tõestada või tõrjuda. Igaüks võib teha ranged katsed, et näiteks kinnitada, et Maa on ümmargune või et välk on elektrienergia. Ükski rangetest katsetest pole suutnud neid väiteid ümber lükata (ja tõenäoliselt keegi seda ei soovi). See empirilisuse standard jätkuvalt valgustab universumi lugematuid ütlemata saladusi; aga see on üllatavalt võimatu matemaatika valdkonnas.

Matemaatika puhul ei piisa vaid väidete katsetamiseks, et nende tõde kinnitada; peab ka tõestama, et nad on tõsi igal juhul. Matemaatikud täidavad seda tõendeid mõtlemisega. Järgige järgmisi nõudeid näidetena:

  1. Kolmnurga nurgad moodustavad sirge joone
  2. Kesknurga mõõdud on kaks korda suuremad kui piiratud nurk, millel on sama kaar
  3. Kolmnurga jalgade ruutude summa on selle kolmnurga hüpotenuuse ruudus võrdne

Iga diagramm toimib iga nõude eksperimendina, kuid mitte mingil juhul tõestab sest iga eksperiment näitab ainult ühte juhtumit. Võib-olla saime õnne - lihtsalt sellepärast, et väide töötab ühel juhul, ei tähenda, et see töötab kõigi nende jaoks. Võib-olla suudame seda juhtumit tugevdada, kui esitame rohkem näiteid, kuid see ei ole nii, nagu matemaatika töötab, ja mõnel põhjusel. Matemaatika jaoks midagi tõestamiseks peame näitama, et see on tõsi igaüks juhtum. Jah. Iga ükskõik milline juhtum.

Vaatame hetke, et mõelda, kui tugev on need väited, uurides nõudeid (C) üksikasjalikumalt. Täna kutsume seda Pythagorean teoreemi auks vana Kreeka matemaatik Pythagoras. Mõnikord on see kirjutatud võrrandina a2 + b2 = c2, milles a ja b on jalad ja c on hüpotenuus - õige nurga all olev külg. Nõue on see, et igal õigel kolmnurgal, mille te kunagi looduses loodi või mida ta näeb, on alati see vara. Pole tähtis, kas sa oled siin siin Maa peal või mõnel välismaal planeedil tulevikus 10 000 aastat. Kõik võimalikud õiged kolmnurgad, olenemata külgede pikkusest, töötavad alati. Nüüd, igavesti ja alati.

Pole veendunud? See oleks väide, mis oleks piisavalt lihtne ümber lükata; kõik, mida peate tegema, on leida ainult üks parempoolne kolmnurk, mis rikub reeglit. Te võite veeta tunde, päevi või aastaid joonistama ja mõõtma paremaid kolmnurga lootustes, et võite koheseda vaid ühe näitega, mis rikub Pythagorase teoreemi. Sa oleksid kuulus, kui leidsite vaid ühe rikkumise. Ainult üks! Kuid sa raiskad oma aja, ja me teame seda, sest Pythagorean teoreem on olnud tõestatud. Me võime olla kindlad oma väidete absoluutsuse osas, sest paljudel juhtudel on matemaatilised tõendid veelgi võimsamad kui teaduslikud katsetused.

Selle asemel, et joonistada ja mõõta iga võimalik kolmnurk, mis oleks võimatu (see tähendaks sõna otseses mõttes igavesti), peame olema loovamad. Mõtle järgmiste diagrammide sarja:

Diagrammil 1 on meil kolm nurga kolmnurga koopiat. Kui me korraldame need ruudus nii, et ruudu neli nurka moodustavad täisnurgad, siis ruut, mis moodustab keskmise ruumi, juhtub olema kolmnurga hüpotenuuse ruut (c2) Kui me korrutame kahte kolmnurka (joonis 2), siis näeme, et luuakse kaks ruutu (joonis 3), kusjuures igaüks neist sisaldab iga kolmnurga jalgade ruudu (a2 + b2) Sellest ümberkorraldusest on selge, et mis tahes parempoolse kolmnurga hüpotenuus ruut on kolmnurga jalgade ruutude summa. Selle protseduuri mõistmiseks mõnd hetk töötab iga võimaliku parempoolse kolmnurga korral, selgub, et see lühike harjutus tõestab Pythagorase teoreemi. See, et on tõestatud, on see, kuidas me teame, et me ei leia kunagi õiget kolmnurka, mis rikub Pythagorase teoreemi.

See parempoolsete kolmnurkade omadus oli teada juba ammu enne Pythagorase aega. Babüloni tabletid on umbes 1750 B.C. sisaldab täisarvu pikkustega parempoolsete kolmnurkade loendeid (mida praegu nimetatakse "Pythagorean Triples"). Nende nimekirjade olemasolu näitab, et inimestel oli kaua aega kahtlustatav et kõik õiged kolmnurgad omavad Pythagorase teoreemis kirjeldatud vara. Tänapäeval nimetame seda a oletus; matemaatiline väide, mida me kahtlustame, et see on tõsi, kuid pole veel tõestatud. Kontseptsioon sarnaneb teiste teaduste hüpoteesiga; põhimõtteliselt "haritud arvan."

Miks Pythagoras väärib erilist vahet, on see, et ta kirjutas esimese kuueteistkümnendal sajandil B.C. teadaoleva tõendi, muutes seeläbi hüpoteegi teoreem. Kaasaegsete oletuste näidete hulka kuuluvad kaksikpõhja arutluskäik ja Riemanni hüpotees. Kuulsus ja varandus ootab neid, kes suudavad tõestada neid oletusi, mis on matemaatikute põlvkonda ületanud.

Miks me suudame selliseid tugevaid väiteid matemaatikas teha? Võib-olla on see sellepärast, et meil on luksus asju nii jäigalt määratleda. Matemaatika ja loogika järgi kutsutakse seda formaalsus. Me võime olla väga konkreetsed selle kohta, mida ja mis ei tähenda, et see on õige kolmnurk, ja on seega võimelised esitama väga tugevaid väiteid nende identifikaatorite omaduste kohta.

Näiteks võtke oranž ja tõmmake sellele õige kolmnurk. Kuigi selline tegu tundub mõttetu igapäevase kõne mõistliku standardi järgi, osutub see võimatuks. Parem kolmnurk, nagu me siiani seda kirjeldasime, peab olema korter. Kuigi me saame kergesti joonistada kuju, mis meenutab õiget kolmnurka, puuduvad omadused, mida oleme siiani tuvastanud õigetes (lame) paremates kolmnurgades. Kui te peaksite oma pseudojärvi kolmnurga külgi mõõtma, leiad, et hüpotenuuse ruut on vähem kui "jalgade" ruutude summa.

Et me nõuame, et õige kolmnurk oleks korter enne Pythagorase teoreemi tõestamist, on see, mida matemaatikud nimetavad aksioom või postulaat. "Axiom" pärineb Kreeka ἀξίωμα (āxīoma) sõnast "see, mis tunnustab ennast selgelt". Nüüd nimetame neid "loogilisi aksioome"; üks selline näide on "kõik õiged nurgad on üksteisega võrdsed." Tänapäeval on arusaadav, et ükskõik milline formaalsuse süsteem vajab eeldatavate reeglite põhikogumit, seega mitte-loogilised aksioomid - need, mis ei ole iseenesestmõistetavad tõed - on formaalsed loogilised avaldused, mis on aluseks matemaatilisele teooriale ehitatud. Mitte-loogiline aksioom, mille alusel eeldatakse, et parempoolne kolmnurk on tasane, on tuntud kui "paralleelne postulaat". Põhimõtteliselt jäävad paralleelsed jooned tasasele pinnale sama kaugele üksteisest igaveseks kuni lõpmatuseni. Sama ei saa öelda oranži pinnale ega midagi sadulakujulist, nagu kartulipikk.

Pärast kolmanda sajandi B.C. geomeetria õpiku kirjanikku nimetatakse lamedate pindade geomeetriat "eukleidiline". Kreeka. Vaadates umbes 1813, matemaatikud nagu Carl Friedrich Gauss (ja hiljem Bernhard Riemann) mõistsid, et matemaatika ei pea piirduma lamedate geomeetria kirjeldamisega. See töö sai ülioluliseks, kuna see pani aluse Einsteini 1915. aasta üldrelatiivsusteooria teooriale, mis kirjeldab ruumi-ajastiku kumerust.

Robert Coolman on Wisconsini-Madisoni ülikooli kraadiõppur, lõpetades oma doktorikraadi. keemiatehnoloogias. Ta kirjutab matemaatika, teaduse ja selle kohta, kuidas nad ajalooga suhtlevad. Jälgi Robertit @PrimeViridian. Järgne meile @wordssidekick, Facebook & Google+.


Video Täiendada: Toestatud kala asend, mis soodustab lõdvestumist ja uinumist..




ET.WordsSideKick.com
Kõik Õigused Reserveeritud!
Mistahes Materjalide Reprodutseerimine Lubatud Ainult Prostanovkoy Aktiivne Link Saidile ET.WordsSideKick.com

© 2005–2019 ET.WordsSideKick.com