Mis On Trigonomeetria?

{h1}

Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib suhteid kolmnurga külgede ja nurkade vahel.

Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib suhteid kolmnurga külgede ja nurkade vahel. Trigonomeetriat leitakse kogu geomeetriliselt, kuna iga sirgjooneline kuju võib jagada kolmnurkadeks. Lisaks on trigonomeetril silmatorkavalt keerulised suhted teiste matemaatika harudega, eriti keerukate numbritega, lõpmatu seeria, logaritmide ja kumerusega.

Sõna trigonomeetria on 16. sajandi ladina tuletis kreeka sõna kolmnurga (trigōnon) ja meede (metrooni) Kuigi kolmandal sajandil eKr. Tekkis Kreekas väli, on mõned kõige olulisemad sissemaksed (nagu siinusfunktsioon) pärit Indiast viiendas sajandil AD. Kuna Ancient Kreeka varasemad trigonomeetrilised teosed on kadunud, ei ole teada, kas India õpetlased arendasid trigonomeetriliselt iseseisvalt või pärast Kreeka mõju. Victor Katzi sõnul "Matemaatika ajalugu (3. väljaanne)" (Pearson, 2008) on trigonomeetria arendatud peamiselt Kreeka ja India astronoomide vajadustest.

Näide: purjekasamuti kõrgus

Oletame, et peate teadma purjekasamuti kõrguse, kuid ei suuda seda mõõta ronida. Kui tõsteraam on tekile risti ja masti ülaosa on taldrikule libisev, asetseb masti, teki ja taglase köis õige kolmnurga. Kui me teame, kui kaugel on masti köis ja masti kallak, mille juures tross vastab tekile, siis on kõik, mida me peame määrama, et masti kõrgus on trigonomeetriline.

Selle tutvustuse jaoks peame uurima paari viise, kuidas kirjeldada "kallakut". Esiteks on kalle, mis on suhe, mis võrdleb, kui palju ühikuid joon tõuseb vertikaalselt (tema tõuseb) võrreldes selle, kui palju ühikuid see suureneb horisontaalselt (tema jooksma) Kaldenurk arvutatakse seega tõusuna jagatuna jooksuga. Oletame, et me mõõdame takistustepunkti masti põhi 30 jalast (9,1 meetrit). Korrutades jooksu kalle, saame tõusu - masti kõrgus. Kahjuks ei tunne meid kalle. Me võime siiski leida nurk trossi trossist ja kasuta seda kaldtee leidmiseks. Nurk on osa täisringist, mis on määratletud kui 360 kraadi. Seda saab hõlpsalt mõõta transportija abil. Oletame, et nurk võrgupinge ja teki vahel on 71/360 ringist või 71 kraadi.

Me tahame kalle, kuid kõik, mis meil on, on nurk. Me vajame suhet, mis seostab neid. See suhe on tuntud kui "puutuja funktsioon ", kirjutatud pimedaks (x). Nurga puutuur annab selle kalle. Meie demo puhul on võrrand: tan (71°) = 2,90 (selgitame, kuidas me selle vastuse hiljem saame.)

See tähendab, et meie trossi kallak on 2,90. Kuna tõstepunkt on 30 meetri kaugusel masti alusest, peab tõsteraam olema 2,90 × 30 jalga või 87 jalga pikk. (Mõõtesüsteemis on see sama: 2,90 x 9,1 meetrit = 26,4 meetrit.)

Sine, kosinus ja puutuja

Sõltuvalt sellest, mida on teada parempoolse kolmnurga erinevate külgpikkuste ja nurkade kohta, on veel kaks trigonomeetrilist funktsiooni, mis võivad olla kasulikud:sinine funktsioon "kirjutatud patina (x) ja"koosiinus funktsioon ", mis on kirjutatud kui cos (x). Enne nende funktsioonide selgitamist on vaja mõnda täiendavat terminoloogiat. Puudutavad küljed ja nurgad on kirjeldatud kui naabruses. Igal küljel on kaks külgnevat nurka. Kirjeldatud on küljed ja nurgad, mis ei puutu kokku vastupidi. Parema kolmnurga jaoks nimetatakse paremale nurga vastas olevat külge hüpotenuus (Kreeka keelest "venitades alla"). Kaks ülejäänud külge kutsutakse jalad.

Tavaliselt oleme huvitatud (nagu näites eespool) teisest nurgast peale õige nurga. Eespool toodud näites pealkirjaga "tõuse" võeti vastassuunalise pikkuse suhtes huvipakkuva nurga all; samamoodi on "jooks" võetud kõrvuti asetseva jalaga. Nurga mõõtmisel rakendatakse kolme trigonomeetrilise funktsiooni külgpikkuste suhte erinevaid kombinatsioone.

Teisisõnu:

  • Nurga puutuja A = vastaskülje pikkus jagatuna külgneva külje pikkusega
  • Nurga A sinine on vastaspoole pikkus jagatuna hüpotenuuse pikkusega
  • Nurga A kooseinus on külgneva külje pikkus, mis on jagatud hüpotenuuse pikkusega

Meie laeva masti eeskuju kohaselt saab nurga ja selle puutuja vahelist suhet kindlaks määrata selle graafikul, mis on näidatud allpool. Sinus- ja koosüsi graafikud on samuti lisatud.

Kolm peamist trigonomeetrilist funktsiooni.

Kolm peamist trigonomeetrilist funktsiooni.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Kuigi käesoleva artikli reguleerimisalast väljapoole jääb välja, on see, et need funktsioonid on omavahel seotud mitmesuguste keerukate võrranditega, mida nimetatakse identiteediks, võrranditeks, mis on alati tõesed.

Igal trigonomeetrilisel funktsioonil on ka vastupidine, mida saab kasutada nurga leidmiseks külgede suhest. Pööra (x), cos (x) ja tan (x) pööratakse vastavalt arcsin (x), arccos (x) ja arctan (x).

Kolm põhimõttelisi trigonomeetrilisi funktsioone pööratakse.

Kolm põhimõttelisi trigonomeetrilisi funktsioone pööratakse.

Krediitkaardiga: Robert J. Coolman

Muud kujundid kui parempoolsed kolmnurgad

Trigonomeetria ei ole piiratud ainult õigete kolmnurkadega. Seda saab kasutada kõigi kolmnurkade ja kõigi kujuga sirgete külgedega, mida käsitletakse kolmnurkade kogumina.Iga kolmnurga korral, kuue kujutise külgede ja nurkade mõõtmisel, kui on teada vähemalt kolm, võib tavaliselt määrata ülejäänud kolm. Kolmest teadaolevatest külgedest ja nurkadest koosneva kuue konfiguratsiooniga ei saa kolmest kolmest kolmest kolmest kolmest kolmest teadaolevatest nurkadest (AAA) ja teadmata külgedest (ASS) teada olevatest nurkadest teada olevat nurka kasutada ainult kahte neist konfiguratsioonidest. Tundmatu külje pikkus ja nurk määratakse järgmiste tööriistade abil:

  • Sinesi seadus, milles öeldakse, et kui mõlemad kolmest vastandatud nurga / külgpaarist mõlemad mõõtmed on teada, saab teisi kindlaks määrata ainult ühe teadaoleva: patt (A) / a = sin (B) / b = sin ( C) / c
  • Kosineenide seadus, milles öeldakse, et tundmatut külge võib leida kahelt teadaolevatest külgedest ja nendevahelisest nurgast. See on põhimõtteliselt Pythagorean teoreem, mille nurgakivide parandustegur pole 90 kraadi: c2 = a2 + b2 - 2ab ∙ cos (C)
  • Asjaolu, et kõik kolmnurga nurgad peavad olema kuni 180 kraadi: A + B + C = 180°

Trigonoodia ajalugu

Trigonomeetria järgib samasugust teed kui algebra: see töötati välja muistses Lähis-Idas ning kolis kaubandus- ja sisserände kaudu Kreekasse, Indiasse, keskaja Araabiasse ja lõpuks Euroopasse (kus kolonialism tegi selle nüüd versiooniks, kus enamik inimesi õpetatakse täna). Trigonomeetrilise avastuse ajakava on keeruline asjaolu tõttu, et India ja Araabia jätkasid uuringus väljapaistvaid sajandeid pärast teadmiste edasiandmist kultuuripiiride kaudu. Näiteks Madhava 1400 avastused lõpmatu seeria sine'st ei olnud Euroopale teada Isaac Newtoni iseseisva avastuse kaudu 1670. aastal. Nende komplikatsioonide tõttu keskendume ainult sine, cosine'i ja puutuja avanemisele ja läbimisele.

Lähis-Idas, seitsmenda sajandi B.C. Neo-Babülooni õpetlased määravad kindlaks sonuaalsete tähtede tõusuaegade arvutamise meetodi. Selleks kulub umbes 10 päeva, kuni tõuseb staar, mis tõuseb kohe enne koidust, ja kõigis 12 sümboolika märkides on kolm kindlat tähte; 10 × 12 × 3 = 360. Arv 360 on piisavalt pikk, et 365,24 päeva aastas, kuid palju mugavam töötada. Peaaegu identsed vahed on leitud teiste iidsetest tsivilisatsioonidest, näiteks Egiptust ja Induse orust. Uta Merzbachi sõnul "Ajaloo matemaatika" (Wiley, 2011) on selle Babüloonia tehnika kohandamine Alexandria kreeka teadlase Hypsicles'iga umbes 150 B.C. oli tõenäoliselt inspireeriv Nizza hüparkhos (190-120 B.C.), et alustada ringi lõikamise suunda 360 kraadini. Geomeetria abil määrati Hipparchus trigonomeetriliste väärtuste (enam kasutamata funktsiooni jaoks) väärtuste jaoks 7,5 kraadi (48th ringist). Aleksandria Ptolemaios (A.D. 90 kuni 168) oma A.D. 148 "Almagest" täiendas Hipparchuse tööd, määrates trigonomeetrilisi väärtusi 0,5-kraadiste sammude (720th ringi) 0 kuni 180 kraadi.

Sinefunktsiooni vanim kirje pärineb Aryabhata töös (476-550) viiendast sajandist Indiast. "Aryabhatiya" (499) versioon 1.12 sisaldab kraadide nurkade asemel järjekordseid erinevusi õige nurga kaheksakümmend neljakümnekohta (täppidega 3,75 kraadi). See oli paljude trigonomeetria käivitamine sajandeid.

Järgmine suurte teadlaste rühm, mis pärandas trigonomeetrit, pärines islami kuldajast. Al-Ma'mun (813-833), Abbasiidi-haliifaatse seitsmes kahekõne ja Bagdadi Tarkuse Maja looja toetasid araabia keeles Ptolemaios "Almagesti" ja Aryabhata "Aryabhatiya" tõlget. Varsti pärast Al-Khwārizmī (780-850) esitati täpseid sinusoome ja kooseisina tabeleid "Zīj al-Sindhindis" (820). Selle töö tulemusel jõudsid sellised trigonomeetria teadmised esmakordselt Euroopasse. Gerald Toomeri sõnul "Teadusliku biograafia sõnastikust 7", samal ajal kui algne araabiakeelne versioon on kaotatud, redigeeris seda umbes Al-Andrusi al-Majriti (nüüdisaegne Hispaania) umbes 1000, kes lisasid tõenäoliselt enne Adelardit puutumatuid tabeleid Bath (Lõuna-Inglismaal) tõlgiti selle ladina keelde 1126. aastal.

Lisaressursid

  • Matemaatika on lõbus: trigonomeetria
  • Khani akadeemia: trigonomeetria
  • Wolfram MathWorld: Trigonomeetria


Video Täiendada: 1. Mis tahes nurga siinus, koosinus, tangeks ja kootangens.




Uurimistöö


Homse Autosõidu Kapis
Homse Autosõidu Kapis

Viirused Võivad Sinu Päevil Toota Oma Mobiiltelefoni
Viirused Võivad Sinu Päevil Toota Oma Mobiiltelefoni

Teadusuudised


Globaalne Uuring Näitab, Et Geide Inimeste Vastuvõtmine Langeb 3 Regioonis
Globaalne Uuring Näitab, Et Geide Inimeste Vastuvõtmine Langeb 3 Regioonis

Kui Me Avastame Välismaalasi, Siis Milline On Meie Kontaktide Protokoll?
Kui Me Avastame Välismaalasi, Siis Milline On Meie Kontaktide Protokoll?

Mis Juhtuks, Kui Ma Unustasin Enne Mri-D Purustamist Eemaldada?
Mis Juhtuks, Kui Ma Unustasin Enne Mri-D Purustamist Eemaldada?

Uus Matemaatika Võib Välja Tuua Varjatud Kaose Allikad
Uus Matemaatika Võib Välja Tuua Varjatud Kaose Allikad

Üks Big Quake Võib Viia Teise, Kuid Ainult Läheduses
Üks Big Quake Võib Viia Teise, Kuid Ainult Läheduses


ET.WordsSideKick.com
Kõik Õigused Reserveeritud!
Mistahes Materjalide Reprodutseerimine Lubatud Ainult Prostanovkoy Aktiivne Link Saidile ET.WordsSideKick.com

© 2005–2019 ET.WordsSideKick.com