Zeno Paradoks: Lähenemis- Ja Erineva Seeria Mõistmine

{h1}

Ühtlane seeria on matemaatiline seeria, milles osade summade järjestus läheneb väärtusele 1. Erinev seeria on vastupidi - summad ei vasta piiratud piirile.

Kreeka filosoof Zeno of Elea viiendas sajandil B.C. üritas näidata, et liikumine on ainult illusioon, pakkudes välja järgmise paradoksi:

Achilleuse sõdalane on jalgrattaga jalgrattaga, kuid Achilles on andnud kilpkonnale 100 meetri pikkuse pea. Kui Achilleus kulgeb kilpkonnaga 10 korda kiiremini, jõuab ta kuni kilujuurte lähtepunkti, siis on kilpkonn veel 10 meetrit pikk. See tekib Achilleuse jaoks, et järgmisel korral, kui ta jõuab, kus on kilpkonn, siis on tegemist kilpkonniga jälle on arenenud... ja see on nii ja ikkagi lõpuni. Selle loogika järgi ei saavuta Achilleus kilpkonna kunagi!

Täna teame, et see paradoks - Zeno loonud mitu, mis käsitlevad ruumi ja aega - ei ole mingit seost liikumisega, mis on illusoorne, kuid me siiski räägime sellest, sest see tutvustas mõnda huvitavat matemaatikat, mis ei saanud põhjalikku ravi enne 17.th sajandil A.D., kui Gottfried Leibniz leiutas kivi. Kuigi punktide arv, kus Achilles jõuab lõpuks kilpkonna viimiseks, on lõpmatu, on kõigi nende punktide summa piiratud. Me nimetame seda nähtust "lähenemasarjaks".

Selle probleemi lihtsam versioon on kõige paremini räägitud kui nali. Lõppude arv matemaatikud astub baaris. Esimesed tellivad pool õlut; teine ​​tellib veerandi; kolmas kaheksas. Kui vaatad rida alla, räägib baarimees: "Sa oled kõik idiootsed!" valab neile ühe õlle, kes jagavad seda ja sulgub vahelehe.

Sellisel juhul on üsna lihtne näha, et selle lõpmatu tellimuste koguarv lisatakse ühe õllega. Summa tingimused on piisavalt väikesed, nii et kogus kokku väheneb.

Järjekorras oleks see välja näinud järgmiselt:

Kui naaseme Zeno paradoksile, siis võtame kõigepealt vastuse korrapärase algebra abil. X-võrdsusega kauguse määramine ja distantsi mõistmine, mis peab olema määra × aeg, ja et Achilleuse kiirus on 10 kilogrammilises järjestuses (rt), meil on kaks järgmist võrrandit:

Kui me lahendame x-i jaoks, siis jõuame umbes 111,11 meetri kaugusele. Kas me saame arvutada kauguse, millega Achilleus tegelikult püütud kilpkonnale, lisades kauguse kõikide punktide vahel, kus Achilles jõuab siia, kus oli kilpkonn oli varem?

Jah! Me võime seda probleemi kirjutada, nagu me tegime lõpmatu arvu matemaatikutega, kes kõndivad baaris.

Nagu varemgi, alustame tundmatut kaugust x-st. Me kirjutame iga terminit ka eksponentidega, mis määravad meie jooksja kiiruste suhte.

Kui me korrutame mõlema poole 1/10 võrra, saavutame järgmise:

Teise võrrandi lahutamisel esimesest, saame selle:

Sellest näeme, et me saame täpselt sama vastus kui varem. See tulemus on äärmiselt oluline. See, et me võime lisada lõpmatu hulga asju koos ja saada mitte-lõpmatu vastus, on kogu arvutuste aluseks!

Erinevad seeriad

Mis juhtuks, kui kilpkonna asemel jooksid kaks korda nii kiiresti kui Achilles? Achilles leiutas jällegi, et iga kord, kui ta jõuab varjatud kilpkonnani, on kilpkonn edasi liigutanud... ainult sel hetkel muutub kilpkonn veel kaugemaks ja kaugemaks!

Kuna numbrid muutuvad suuremaks ja suuremaks, peetakse sellist seeriat "erinevaks". Kui kõrvale jätta, kuidas segaduses Achilles peaks olema kohe, pidage enne analüüsi korrata, et näha, mis juhtub.

Nagu oodatud, lisab see endasse lõpmatuseni. See vastab Achilles'ile, kellel pole vankrit. Selle kontrollimiseks, mis juhtub, kui selle asemel lahendame seda tavalise algebriga?

X lahendus annab väärtuse -100m (see on negatiivne 100 meetrit). See vastus võib esialgu tunduda kummaline, kuid see tegelikult tähendab midagi. Eeldades, et Achilleus ja kilpkonn jooksis enne võistluse algust, vastab see arv kaugusele stardiliini taga, mille Achilleuse murd oli kilpkonn.

Sellel tõeliselt üllataval asjal on see, et me saame selle vastuse saamiseks ikkagi kasutada lõpmatu seeriat. MinutePhysicsi ülejäänud inimesed saavad negatiivse vastuse lisades lõpmatu hulga asju, mis järjestikku kahekordistuvad. Kuidas see töötab? Kas see on õige?

Noh, jah ja ei. Kõik on selles osas ringi rohelisena:

Roheline osa on kindlasti lõpmatu, kuid kummalisel juhul saame sisukat vastust lihtsalt ignoreerida. Ärge eksige, see summa on endiselt lõputu, kuid võõrandades lõpmatu osa, võime ikkagi saada sisukat vastust ja õppida asju, mida me ei suuda, tehes seda õiges suunas.

Selle osa seadistamine toimub roheliselt nullini, lõplik summa väljub -100m-ni, sama vastus nagu varem. Seda mõttes tähendab "sisukas vastus". Kuigi see ei ole "õige" vastus, näitab see, et on võimalik eemaldada erinevad seeriad lõpmata osadest, et saada midagi, millest me saaksime teadmisi koguda.


Video Täiendada: .




Uurimistöö


Kuidas Puit Töötab
Kuidas Puit Töötab

Teadlane Meeldis
Teadlane Meeldis "Story" Probleemidele Matemaatika Kui Lapsega

Teadusuudised


Trippy! Chameleonid Hirmutavad Võistlejad Kiire Värvimuutusega
Trippy! Chameleonid Hirmutavad Võistlejad Kiire Värvimuutusega

Hiiglane Õlarass Eemaldati! Ussid, Munad Leitud Sees
Hiiglane Õlarass Eemaldati! Ussid, Munad Leitud Sees

Millised On Inimgenoomi Uued Teadmised Inimese Genoomi Tõenäolistest Tagajärgedest?
Millised On Inimgenoomi Uued Teadmised Inimese Genoomi Tõenäolistest Tagajärgedest?

Nutikad Pihustuskarbid Võiksid Teha Ühele Seinamaalingute Esitaja
Nutikad Pihustuskarbid Võiksid Teha Ühele Seinamaalingute Esitaja

Viinamarjad: Tervisealased Hüved Ja Toitumisharjumused
Viinamarjad: Tervisealased Hüved Ja Toitumisharjumused


ET.WordsSideKick.com
Kõik Õigused Reserveeritud!
Mistahes Materjalide Reprodutseerimine Lubatud Ainult Prostanovkoy Aktiivne Link Saidile ET.WordsSideKick.com

© 2005–2019 ET.WordsSideKick.com